プラトンの立方体と断片化の自然幾何学

Plato's cube and the natural geometry of fragmentation.

• Gábor Domokos
• Douglas J Jerolmack
• Ferenc Kun
• János Török

抄録

プラトンは、地球の構成要素を立方体に見立て、自然界ではめったに見られない形状にしました。しかし、太陽系には、どこにでもある断片化によってできた岩や氷の破片である歪んだ多面体が散在しています。我々は、凸型モザイクの理論を適用して、泥の割れ目から地球の地殻プレートまで、自然の2次元（2D）断片の平均的な形状には、2つのアトラクターがあることを示します。"プラトニック」な四角形と「ボロノイ」な六角形である。三次元(3D)では、プラトニックなアトラクターが支配的である。驚くべきことに、自然の岩石片の平均的な形状は立方体である。凸型モザイクのレンズを通して見ると、自然の岩片はプラトンの形の幾何学的な影である。シミュレーションでは、一般的な二進破断がすべてのモザイクをプラトニック・アトラクタに向かって駆動し、キューボイドの平均形状の遍在性を説明することを示しました。二値破断からの逸脱は、形成的ストレス場に遺伝的にリンクしているよりエキゾチックなパターンを生成します。我々は、このリンクを確立する普遍的なパターンジェネレータを、2Dと3Dの断片化について計算する。

Plato envisioned Earth's building blocks as cubes, a shape rarely found in nature. The solar system is littered, however, with distorted polyhedra-shards of rock and ice produced by ubiquitous fragmentation. We apply the theory of convex mosaics to show that the average geometry of natural two-dimensional (2D) fragments, from mud cracks to Earth's tectonic plates, has two attractors: "Platonic" quadrangles and "Voronoi" hexagons. In three dimensions (3D), the Platonic attractor is dominant: Remarkably, the average shape of natural rock fragments is cuboid. When viewed through the lens of convex mosaics, natural fragments are indeed geometric shadows of Plato's forms. Simulations show that generic binary breakup drives all mosaics toward the Platonic attractor, explaining the ubiquity of cuboid averages. Deviations from binary fracture produce more exotic patterns that are genetically linked to the formative stress field. We compute the universal pattern generator establishing this link, for 2D and 3D fragmentation.