人口変動を伴う実値SDEおよび非負値SDE母集団モデルについて

On real-valued SDE and nonnegative-valued SDE population models with demographic variability.

• E J Allen
• L J S Allen
• H L Smith

抄録

人口変動を伴う人口動態は、連続時間マルコフ連鎖（CTMC）モデルを用いた離散ランダム変数を用いて研究されることが多い。連続ランダム変数を用いたCTMCモデルの近似は、CTMCモデルの反応率に基づいた標準的な手法を適用することで、簡単に導出することができます。これは、一般的に [式: テキストを参照] の形式を持つイトー確率微分方程式 (SDE) のシステムを導く。ここで、[式: テキストを参照] はランダム変数の母集団ベクトルであり、[式: テキストを参照] はドリフトベクトルであり、G は拡散行列である。いくつかの問題では、導出されたSDEモデルは、すべての時間において実値解または非負の解を持たない場合がある。このような問題では、SDEモデルは実行不可能と判断される可能性がある。本研究では、実値解と非負解を持つ新しいSDE系を導出する。実値を持つSDEモデルを導出するために、負の反応率を確率0とし、反応率は全ての時間において非負であると仮定する。この生物学的に現実的な仮定は、実値SDE集団モデルの導出につながる。しかし、実数値のSDEモデルでは、小さくても負の値が発生することがある。これは、母集団サイズがゼロに近い場合のある種の問題依存性の拡散係数の大きさによるものである。母集団サイズがゼロに近い場合の拡散係数をわずかに変更することで、実数値SDEモデルが負ではない解を持つことを保証しつつ、サイズがゼロに近くない場合のSDEモデルの完全性を維持することができる。この方法論を説明するために、いくつかの母集団の動的問題を検討する。

Population dynamics with demographic variability is frequently studied using discrete random variables with continuous-time Markov chain (CTMC) models. An approximation of a CTMC model using continuous random variables can be derived in a straightforward manner by applying standard methods based on the reaction rates in the CTMC model. This leads to a system of Itô stochastic differential equations (SDEs) which generally have the form [Formula: see text] where [Formula: see text] is the population vector of random variables, [Formula: see text] is the drift vector, and G is the diffusion matrix. In some problems, the derived SDE model may not have real-valued or nonnegative solutions for all time. For such problems, the SDE model may be declared infeasible. In this investigation, new systems of SDEs are derived with real-valued solutions and with nonnegative solutions. To derive real-valued SDE models, reaction rates are assumed to be nonnegative for all time with negative reaction rates assigned probability zero. This biologically realistic assumption leads to the derivation of real-valued SDE population models. However, small but negative values may still arise for a real-valued SDE model. This is due to the magnitudes of certain problem-dependent diffusion coefficients when population sizes are near zero. A slight modification of the diffusion coefficients when population sizes are near zero ensures that a real-valued SDE model has a nonnegative solution, yet maintains the integrity of the SDE model when sizes are not near zero. Several population dynamic problems are examined to illustrate the methodology.